• 2
  • 3
  • 4
  • 6

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения. Основные методы решений

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное подзнаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

Простейшие тригонометрические уравнения.



Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнениядля получения его простейшеговида (см. выше)и  решение полученного простейшеготригонометрического уравнения.Существует семьосновных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки ).

  

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sinx + cosx = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

                              

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos2x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2x + sin x · cos – sin 2x – cos 2x = 0 ,

                                            sin x · cos – sin 2= 0 ,

                                            sin x · ( cos – sin ) = 0 ,

                               

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x– cos 8x + cos 6x = 1.

     Р е ш е н и е .    cos 2xcos 6x = 1 + cos 8x,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

    

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

                            

3.

Приведениекоднородному уравнению.Уравнениеназывается однородным относительно  sin  и  cosесли все егочленыоднойитойже степениотносительно sin  и cos  одногоитогожеугла.Чтобырешитьоднородноеуравнение,надо:

   а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки,приравненныенулю, даютоднородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

       cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 

    П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin2x + 4 sinx· cosx + 5 cos2x = 2.

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2x = 2sin 2 x + 2cos 2x ,

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2x = 0 ,

                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y2 + 4y +3 = 0 ,

                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда

                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

                              

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sinx – 5 cosx = 7.

    Р е ш е н и е .  6 sin ( / 2 ) · cos ( / 2 ) – 5 cos ² ( / 2 ) + 5 sin ² ( / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( / 2 ) + 7 cos ² ( / 2 ) ,

                             2 sin ² ( / 2 ) – 6 sin ( / 2 ) · cos ( / 2 ) + 12 cos ² ( / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( / 2 ) – 3 tan ( / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  abc – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперькоэффициентыуравненияобладаютсвойствамисинусаикосинуса, а именно: модуль (абсолютноезначение) каждогоизних не больше1,а сумма их квадратов равна 1Тогда можнообозначитьих соответственнокакcosи sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), инаше уравнение принимает вид:

 

 

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

    

    Пример .  Решить уравнение:  2 sin 2x·sin 6x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = / 2 + p,

                                                 x = / 16 + p/ 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

                                                                                                                                             

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

  

                               

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

MVSocialButtons

Share this post

Отправить в FacebookОтправить в Google BookmarksОтправить в OdnoklassnikiОтправить в Vkcom

Авторизация

Новые пользователи

  • lilianade1
  • adawl4
  • Wilcanjaicy
  • karinex
  • Bernicesap

Статистика сайта

ОС
Linux r
PHP
5.6.30
MySQLi
5.7.21-20-beget-5.7.21-20-1-log
Время
18:59
Кэширование
Отключено
GZip
Отключено
Посетители
32361
Материалы
316
Количество просмотров материалов
419936

Подписаться на канал по математике

 
cassidy clay free pornmalay young girls sucking cockbeeg gallery hdchina young sexyoung inzestpornfree download sunny leon porn hd vedeos moviesxxx.biz Bangladeshi scandalfree daughter gangbangöld granny fikautumn riley porn video free download Bangladeshi scandalfree daughter gangbangöld granny fikautumn riley porn video free download mobile porn sexyoung inzestpornfree download sunny leon porn hd vedeos