• 2
  • 3
  • 4
  • 6

Математика 10 класс

Построение сечений многогранников.

Построение сечений многогранников.

 

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

параллелепипед

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

параллелепипед

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

параллелепипед

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

параллелепипед

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

параллелепипед

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

параллелепипед

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

параллелепипед

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

параллелепипед

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

сечение.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

сечение.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

Тригонометрические уравнения

Примеры решения тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения имеют следующие решения

\[    \sin x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = (-1)^{k} \arcsin a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    \cos x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = \pm \arccos a + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    \text{tg }x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = \text{arctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    \text{ctg }x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = \text{arcctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Так же среди тригонометрических уравнений можно выделить такие виды уравнений:

  1. Уравнение вида a \sin x + b \cos x = c . (Решаются с помощью введения дополнительного угла);
  2. Однородные тригонометрические уравнения

    \[    a_{0} \sin ^{n} x + a_{1} \sin ^{n-1} x \cos x + a_{2} \sin ^{n-2} x \cos ^{2} x + ... + a_{n-1} \sin x \cos ^{n-1} x + a_{n} \cos ^{n} x = 0 \]

    , где a_{0}, a_{1}, ... , a_{n-1}, a_{n} – действительные числа и n \geq 1 .(Сводятся к уравнению относительно \text{tg }x );

  3. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие дробь, в числителе и знаменателе которой находятся тригонометрические функции;
  4. Тригонометрические уравнения, при решении которых используется ограниченности функций y=\sin x и y= \cos x .

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение

\[    \cos x = \frac{1}{2} \]

Решение Это элементарное тригонометрическое уравнение. Используя формулу корней такого уравнения x = \pm \arccos a + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , получим

\[    x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение

\[    5 - 5 \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 0 \]

Решение Запишем данное уравнение в виде и разделим обе части на 5

\[    5 \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 5 \]

\[    \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 1 \]

Воспользуемся формулами приведения, получим

\[    \text{tg } \left( \pi - \frac{\pi}{3} -4x \right) = 1 \]

\[    \text{tg } \left( \pi -  \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right)  \right) = 1 \]

\[    - \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) = 1 \]

\[    \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) = -1 \]

Применяя к последнему равенству формулу x = \text{arcctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , получим:

\[    \frac{\pi}{3} + 4x  = \text{arcctg } (-1) + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    \frac{\pi}{3} + 4x  = -\frac{\pi}{4} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    4x  = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    4x  = -\frac{7\pi}{12} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    4x  = \frac{5\pi}{12} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    x  = \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi k}{4} \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение 3 \sin x + 4 \cos x = 2
Решение Разделим левую и правую часть заданного уравнения на \sqrt{3^{2}+4^{2}} , получим:

\[    \frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \sin x +  \frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \cos x =  \frac{2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \]

\[    \frac{3}{\sqrt{9+16}} \sin x +  \frac{4}{\sqrt{9+16}} \cos x =  \frac{2}{\sqrt{9+16}} \]

\[    \frac{3}{5} \sin x +  \frac{4}{5} \cos x =  \frac{2}{5} \]

Введем вспомогательный угол: \frac{3}{5} = \cos \varphi \text{ },\text{ } \frac{4}{5} = \sin \varphi . Так как \sin \varphi > 0 и \cos \varphi > 0 , то в качестве вспомогательного угла можно взять \varhp = \arcsin \frac{4}{5} . Тогда последнее равенство преобразуется к такому виду:

\[    \cos \varphi \sin x +  \sin \varphi \cos x =  \frac{2}{5} \]

Применив формулу «синус суммы», перепишем последнее равенство в виде:

\[    \sin ( x+ \varphi ) =  \frac{2}{5} \]

Получили простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого равны

\[    x+ \varphi = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    x = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} - \arcsin \frac{4}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение \sin ^{2} x + \sin x \cos x - 2 \cos ^{2} x = 0
Решение Это однородное тригонометрическое уравнение. Преобразуем его, поделив левую и правую часть на \cos ^{2} x \neq 0 , получим:

\[    \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos ^{2} x} - \frac{2 \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} = \frac{0}{\cos ^{2} x} \]

\[    \text{tg } ^{2} x + \text{tg } x -2 = 0 \]

Введем замену \text{tg }x = t , тогда последнее уравнение примет вид:

\[    t^{2} x + t -2 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[    D = 1^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8=9 \]

\[    t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=-2 \text{ };\text{ } t_{2}=1 \]

Делаем обратную замену. Если t=-2 , получаем простейшее тригонометрическое уравнение \text{tg }x = -2 , корни которого найдем по формуле x = \text{arctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , имеем

\[    x = \text{arctg } (-2) + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Если t=1 , получаем уравнение \text{tg }x = 1 , корни которого равны

\[    x = \text{arctg } 1 + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    x = \frac{\pi}{4} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение

\[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = 1 - \cos x \]

Решение Это уравнение является дробно-рациональным тригонометрическим уравнением. Правую часть заданного уравнения умножим и разделим на (1+ \cos x) , получим

\[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1+ \cos x} \]

Преобразуем выражение, стоящее в правой части последнего равенства, используя формулы сокращенного умножения и основное тригонометрическое тождество:

\[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{1 - \cos ^{2} x}{1+ \cos x} \]

\[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{\sin ^{2} x}{1+ \cos x} \]

Перенесем все влево, получим:

\[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} - \frac{\sin ^{2} x}{1+ \cos x} = 0 \]

\[    \frac{\sin x - \sin ^{2} x}{1+ \cos x} = 0 \]

Учитывая, что знаменатель дроби не может быть равен нулю

\[    1+\cos x \neq 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos x \neq -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \neq \pi + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

приравняем к нулю числитель:

\[    \sin x - \sin ^{2} x = 0 \]

\[    \sin x (1 - \sin x )= 0 \]

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Таким образом,

\sin x = 0 или 1-\sin x= 0

\[    \sin x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \pi k\text{ },\text{ } k \in Z \]

\[    1-\sin x= 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin x = 1\text{ } \Rightarrow \text{ } x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z \]

Учитывая что, x \neq \pi + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , получим, что решениями будут: x = 2 \pi k\text{ },\text{ } k \in Z и x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z .

Ответ

MVSocialButtons

Share this post

Отправить в FacebookОтправить в Google BookmarksОтправить в OdnoklassnikiОтправить в Vkcom

Авторизация

Новые пользователи

  • CoreyDussy
  • MichaelSat
  • leolatq60
  • DennisWaync
  • Josephina

Статистика сайта

ОС
Linux r
PHP
5.6.30
MySQLi
5.7.21-20-beget-5.7.21-20-1-log
Время
21:27
Кэширование
Отключено
GZip
Отключено
Посетители
34756
Материалы
319
Количество просмотров материалов
445298

Подписаться на канал по математике

 
cassidy clay free pornmalay young girls sucking cockbeeg gallery hdchina young sexyoung inzestpornfree download sunny leon porn hd vedeos moviesxxx.biz Bangladeshi scandalfree daughter gangbangöld granny fikautumn riley porn video free download Bangladeshi scandalfree daughter gangbangöld granny fikautumn riley porn video free download mobile porn sexyoung inzestpornfree download sunny leon porn hd vedeos